イギリスの医療費は、プライベートのお医者さんでなければ、イギリスに住んでいれば外国人でも無料です。
まずはGP(General Practitioner、いわゆる自分のお抱えドクター)の登録に行きましょう。
NHSのサイトで最寄りのクリニックの検索ができますので、そこに連絡して登録してもらってください。
たまに、新しい患者登録をしていない病院があるので、断られてもくじけずに頑張ってください。
学生さんなら大学に併設されてる大学病院もしくはキャンパス内クリニックで簡単に登録できるかもしれません。
基本的に、お医者さんに診てもらうには予約が必要ですが、
Market StreetのBoots(大型ドラッグストア)の上階のクリニックは、Walk-inで診てもらえます。
その他walk-in可能なクリニックもちょこっとあるので、ネットで調べられると良いと思います。